معادلات
معادلات مرتبه دوم:
F(x , g , g` , g")=0
V=(x , g)=xi+gj
g"+g=0
g1=sinx g`=cosx g"=_sinx _sinx + sinx=0
g2=cosx g`=_sinx g"= _cosx _cosx + cosx=0
g=a sinx + b cosx
جواب ها مستقل هستند!
برای حل معادلات مرتبه 2 ابتدا دو جواب مستقل بدست می اوریم ترکیب این دو جواب مستقل در پارامترها جواب معادله هستند!
جواب عمومی معادله ترکیب خطی است. جواب اول در پارامتر اول + جواب دوم در پارامتر دوم همانند مثال بالا!
در صورتی دو جواب مستقل هستند که ضریب غیر ثابت (تابع) یکی از ان ها برابر دیگری باشد همانند:
cosx= cot x * sin x
f(x) g(x وابسته هستند هر گاه : f(x)=k g(x) عدد ثابتk
هر گاه f(x) , g(x) را مستقل گوییم که وابسته نباشد!
f(x)= k g(x)
f(x)/g(x)=k
(f(x)/g(x))`=0
f`(x)g(x) _ g`(x)f(x)
__________________=0
g به توان 2
f`(x)g(x) _ g`(x) f(x) = 0
روسنکیw f(x) , g(x) =
قضییه:
g , f وابسته هستند اگر : w(f , g) = 0
f , g مستقل هستند اگر: w(f , g) # 0 ( مساوی صفر نباشد)
sin x , cos x
پس مستقل می باشد چون برابر صفر نیست!
روش کاهش مرتبه:
معادله خطی مرتبه دوم:
g" +p (x) g` + Q(x)g= R(x)
با فرض اینکه g1جوابی برای معادله فوق باشد می خواهیم جواب عمومی معادله را بیابیم اگر g2 به عنوان جواب دومی از معادله یافت شود به قسمی که مستقل از g1 باشد انگاه : c1 g1 + c2 g2 جواب عمومی معادله فوق می باشد!
اگر g1 و g2 مستقل باشند ان گاه:
g2 = v g1
(v) تابع است!
وی برابر است با انتگرال e به توان منفی انتگرال p(x)dx تقسیم بر g1 به توان 2 dx
g2 برابر است با g یک در انتگرال e به توان منفی انتگرال p(x) dx تقسیم بر g1 2 dx
توی فرمول g2=v g1 مساوی v رو جاگذاری می کنیم!
مثال:
با روش کاهش مرتبه e= g" - 3g' + 2g ( e به توان 2x )
g" - 3g' + 2g= 0
e=g ( e به توان x )
* تنها تابع نمایی است که خود تابع + مشتق اول تابع + مشتق دوم تابع = صفر است
g2=vg1 =ev ( eبه توان x )
g2'=ev + ev' (e به توان x است)
g"2=ev + ev' +ev' + ev" (e به توان x است )
g"2=ev +2 ev' + ev" ( e به توان x است)
g , g' , g" را در g" - 3g' +2g = e (e به توان 2x است )
در نهایت
e= v" - v' ( e به توان x است )
v'=p v"=p
e= p' - p ( e به توان x ) معادله خطی مرتبه اول
معادلات خطی همگن مرتبه دوم با ضرایب ثابت:
g"+ pg`+ qg=0
e= g به توان kx
k به توان 2 ضربدر e به توان kx + pke ( e به توان kx) +qe ( e به توان kx)=0 (معادله مشخصه)
(1)
k=t1,t2
e=g1 به توان t1 x
e=g2 به توان t2x
(2)
k=t
e=g به توان tx
به روش کاهش v=x
ex=g2 (e به توان tx )
(3)
k جواب حقیقی ندارد.
جواب مختلط
k=a+(or -)bi
e cos bx=g1 (e به توان ax )
e sin bx=g2 (e به توان ax )
مثال:
g" - 3g' + 2g=0
k - 3k + 2 = 0 (به توان 2 )
k=1 k= 2
e= g1 (به توان x )
e =g2 (به توان 2x )
g= c1g1 + c2g2
مثال:
g" -4g' + 4g=0
k-4k+4=0 (به توان 2 )
k=2
e=g1 ( e به توان 2x )
e&=g2 (e به توان 2x )
g =c1g1 + c2g2
مثال:
g" + 4g' + 5g = 0
k + 4k +5=0 ( به توان 2 )
b - 4ac=16 - 20 = -4 (b به توان 2 )= دلتا
k به روش دلتا بدست می اید!
k= منفی 2 مثبت منفی رادیکال منفی یک
k = منفی 2 مثبت منفی i
e cos x=g1 ( e به توان -2x )
e sinx=g2 (e به توان -2x )